La Naturaleza de un Modelo Matemático
Días pasados la Universidad Nacional de San Luis otorgó el grado de Doctor Honoris Causa al Dr. Luis Caffarelli, quien forma parte de la legión de los más brillantes matemáticos argentinos en todos los tiempos y su especialidad concierne al estudio de la regularidad de soluciones de ecuaciones derivadas parciales, en particular, la regularidad parcial de la ecuación de Navier-Stokes que constituye uno de los problemas mayores de la matemática actual.
Hoy en contenidos se publica la Clase Magistral que brindó el galardonado en el Auditorio Mauricio López sobre La Ecuación de Navier-Stokes The University of Texas at Austin 2008.
Clase Magistral del Doctor Honoris Causa Luis Caffarelli
La Ecuación de Navier-Stokes es un modelo matemático sencillo para describir la manera en que fluye un líquido viscoso e incompresible. Desde el principio la humanidad ha estado preocupada con describir y predecir la dinámica del mundo circundante; los movimientos planetarios, la trayectoria de un proyectil, la dinámica del viento y agua.
A través de los siglos, desarrollaron experimentos y dedujeron las leyes fundamentales, pero fue solo en los últimos siglos, después del desarrollo de las leyes newtonianas de la mecánica que esas leyes fueron sintetizadas en sistemas coherentes de ecuaciones diferenciales.
La mayoría de la gente conoce probablemente algún modelo matemático sencillo que describe y predice un fenómeno físico, por ejemplo la trayectoria de una piedra es en principio, aproximadamente una parábola, y por lo tanto se puede predecir si se sabe su posición y velocidad iniciales. Este “modelo” permite reconstruir la velocidad y posición a partir de una ecuación: “La aceleración debido a la gravedad es constante hacia abajo” Lo que se obtiene, utilizando esta ecuación, es por supuesto, una respuesta aproximada.
Si se desea un modelo más exacto, hay que tener en cuenta por ejemplo la velocidad de viento, el tamaño y la forma de la piedra, el “spin” inicial que se le pone al tirarla, etc., es decir, hay en realidad una familia de “modelos”, o de distintos sistemas de ecuaciones que podemos escribir para describir los mismos fenómenos en niveles diferentes de complejidad y precisión, en el béisbol, por ejemplo la ley de la “parábola” es probablemente adecuada para un jugador que devuelve la pelota desde lejos al centro del campo, pero ciertamente no adecuado describir un “pitch” sofisticado.
Pero, independientemente de con cuanta exactitud refleja la realidad, un modelo matemático debe tener cierta coherencia interna. Nuevamente, en el modelo de la parábola, se puede prescribir la posición inicial (el jugador del campo exterior) y la velocidad (vector) con que tira la pelota, o en vez de prescribir la velocidad inicial, se puede prescribir que la trayectoria atraviese un segundo punto dado (el recibidor) PERO no LOS DOS. Si lo hace, el problema estará sobredeterminado, y en general no habría solución.
Por otro lado, si prescribimos la posición y la velocidad iniciales, sin dar la dirección inicial de la velocidad, quien sabe donde ira la pelota! Esto puede parecer una pregunta trivial, pero supongamos ahora el problema mucho más complejo de un “pitch” e insistimos, prescribir la posición y la velocidad iniciales, pero permitimos que la pelota tenga inicialmente “spin” (efecto). ¿Cuales son las posibles trayectorias?
En definitiva, el requisito mínimo de autoconsistencia para un modelo es de poder encontrar soluciones únicas a las ecuaciones dentro de una gama razonable de datos.
Uno puede requerir, según el problema propiedades adicionales de sentido común: Que la energía se disipa o es conservada, la velocidad y la aceleración permanecen finitas, etc. Como veremos, el problema de la Clay Foundation acerca de la ecuación de Navier-Stokes se preocupa de esta cuestión de auto-consistencia (la existencia de “soluciones aceptables” y “que la velocidad se mantenga finita”) y no con la certeza del modelo para reproducir la realidad.
¿Pero cual es el fenómeno físico que modela la ecuación de Navier-Stokes? En la versión “gourmet” seria el siguiente. Tome una botella llena de aceite de oliva, (con un poquito de orégano y ají molido para ser utilizado como trazadores), sacúdala y gírela realmente bien, apóyela sobre la mesa y observe como fluye el aceite a una posición de reposo.
Permítanme señalar que este experimento tiene muchas similitudes con el problema de la “trayectoria de la piedra” el sacudir de la botella corresponde al balancear del brazo, para imprimir al líquido una velocidad inicial y el soltar de la piedra, corresponde a colocar la botella sobre la mesa, y permitir que el liquido evolucione por si mismo, debido a fuerzas de inercia, la fricción, etc.
Como veremos, también los modelos matemáticos son semejantes en varios sentidos, son la manera más sencilla y más económica de describir el problema, son razonables bajo condiciones razonables (si usted añade mucho orégano, o el liquido es realmente lubricante en un motor de alta velocidad el modelo será menos preciso y son derivados en el espíritu de la mecánica, que aplicando leyes “en promedio” a dominios e intervalos de tiempo más y más pequeños obtiene “relaciones infinitesimales” o “ecuaciones” diferenciales”. Básicamente ambos hacen un balance de aceleración con fuerzas.
Los ingredientes que yacen detrás de la ecuación de Navier-Stokes son el fluido bajo consideración es incompresible y el fluido es acelerado por la superposición de dos efectos: el flujo es acelerado de áreas de presión más alta hacia áreas de presión mas baja. (por el gradiente de la presión) y una partícula de flujo también es acelerada por el arrastre que las partículas que la rodean, yendo a más alta (o más baja) velocidad, ejercen en ella. (el efecto de la viscosidad).
Querría discutir en detalle esta aserción, pero antes de hacerlo, en un nivel más básico, necesito describir los dos sistemas diferentes de coordenadas con que se describe comúnmente la evolución de continuos (líquidos, cuerpos elásticos, membranas, etc.). Estas son las coordenadas Lagrangianas y Eulerianas.
Las coordenadas Lagrangianas corresponden a reunir información de cada partícula individual en el fluido: Oregano1, Oregano2, Ají molido1, Ají molido2, etcétera, como si pudiésemos instalar un conjunto diminuto de sensores en cada uno de ellos.
Los marcamos inicialmente y seguimos a cada uno de ellos y registramos su posición, la velocidad, la aceleración, la densidad que los rodea etcétera.
Lo mismo para la aceleración, la “densidad”, etc.
En coordenadas Eulerianas, en cambio, nos concentramos en cada punto partícula dentro de la botella y registramos lo que lo atraviesa. Colectamos la información registrando la velocidad o la aceleración de quienquiera que pasa en un momento dado por un punto fijo, x , o y .
Sólo vemos una partícula cuando atraviesa el punto X o el punto Y en tiempos diferentes y no la asociamos como la misma partícula. Mientras el observador Lagrangiano “sigue” el flujo, el Euleriano, se sienta en un punto y lo observa pasar.
La información básica que registra el observador Lagrangiano es la posición, en tiempo, de cada partícula que “marco” inicialmente. En coordenadas Lagrangianas “ Y ( X , t ) denota la posición, en tiempo T , de la partícula que, a tiempo T = 0 estuvo en el punto X .”' Eso es, X es la forma en que se marco la partícula en T = 0 (“Oregano1” o “gota pequeña de petróleo, a un centímetro del fondo, y uno de la izquierda”). Y Y es la posición de esa misma partícula en tiempo T .
Para el observador Euleriano, la información central es el campo de la velocidad. Eso es ~ v ( x , t ) es la velocidad de quienquiera que atravesaba el punto x , dentro de la botella, en tiempo t .
Por supuesto, a fin del día ambos sistemas han registrado los mismos fenómenos, pero la “traducción” de datos, de un sistema al otro, es muy difícil. Por ejemplo para recuperarse la posición Lagrangiana de una partícula se debe reconstruir su trayectoria integrando el campo de velocidades.
Incompresibilidad
Todos comprendemos el significado diario de comprimir, eso es, tratar de presionar algo para empacarlo en forma mas densa, para reducir su volumen, los gases, por ejemplo pueden ser comprimidos, los líquidos en general son muy difíciles de comprimir, por eso los sistema de hidráulicos son tan eficientes en levantar o transportar cargas pesadas.
La primer ecuación en el sistema de Navier-Stokes es que el flujo bajo consideración es incompresible, en coordenadas Lagrangianas significa que si tomamos cualquier porción pequeña de volumen…
Cualquiera “porción” pequeña del líquido siempre mantiene el mismo volumen, a medida que evoluciona en el tiempo.
En coordenadas Eulerianas, como no seguimos el flujo, lo que hacemos es fijar nuestra atención en cualquier región pequeña, y notar que en cada instante de tiempo la cantidad total de líquido que la atraviesa es la misma.
FLUJO POR UNA REGION DADA EN CORDENADAS EULERIANAS
Puesto que esto es verdad para “cualquiera pequeña” porción de liquido que fluye o cualquier pequeña región, tomando volúmenes más y más diminutos alrededor de un punto fijo, podemos transformar la noción de incompresibilidad en una ecuación “infinitesimal”
det D x ( Y ( x , t )) = 1
para coordenadas Lagrangianas,
( D x 1 v 1 + D x 2 v 2 + D x 3 v 3 ) = div ~ v = 0
Para Eulerianas.
La aceleración
Todos tenemos una idea de que es aceleración: La aceleración lineal cuando aumentamos la velocidad por una carretera; aceleración centrípeta cuando doblamos, la aceleración es simplemente el cambio infinitesimal de la velocidad de una partícula determinada:
El aspecto de la aceleración que quiero enfatizar es que aceleración es un concepto Lagrangiano: Enfoca en un punto material (partícula) del flujo, y tiene, en coordenadas Lagrangianas una expresión muy sencilla:
a ( Y ( x , t ) = Dt ( v ( Y ( x , t )))
En coordenadas Eulerianas, en cambio, el papel del campo de velocidades en la formula de la aceleración es doble, efectivamente, para calcular la aceleración en coordenadas Eulerianas en el punto X 0, en el momento T , necesitamos saber la velocidad de “ quienquiera que atraviesa X 0” en el momento T 0, pero también necesitamos la velocidad de esa misma partícula un instante después, solo que para entonces, la partícula no esta más en la posición X 0, ha sido arrastrada llevada por el mismo campo de la velocidad. Así, en coordenadas Eulerianas la velocidad tiene un efecto compuesto en la aceleración, uno simplemente por cambiar su propio valor, y el otro transportando la partícula donde lo cambia, es decir,
El problema es ahora que mientras “aceleración”, el lado “izquierdo” de nuestra ecuación es un concepto Lagrangiano, sus causas, eso es el “lado derecho” será Euleriano (Hemos “traducido” la formula de aceleración a coordenadas Eulerianas, pero nos costaría caro!)
Y esta, es una de las dificultades centrales de dinámica de fluidos, el equilibrar conceptos naturalmente Lagrangianos, como aceleración, que “son transportados por el flujo” con conceptos Eulerianos como tensiones y deformaciones que son de naturaleza espacial y estática.
Esta mezcla es uno de los primeros “problemas” de Navier-Stokes, que hace de la aceleración un término no lineal, difícil de comprender, en coordenadas Eulerianas (Hay una teoría matemática profunda de cantidades “transportado por el flujo”.)
“El lado derecho”
a) la Presión :
El personaje verdadero “malvado” como mencionamos antes, la aceleración se debe a dos causas el lado derecho de la ecuación consiste de dos términos. El primero dice que el fluido se acelera de las presiones más altas a las más bajas, proporcionalmente al “gradiente” de presión.
En mi opinión, es el efecto “malvado” en la ecuación, la razón es que en un flujo incompresible, la interacción entre la Presión y la velocidad es instantánea, no hay absolutamente retraso en la manera que se modifican mutuamente y lo hacen en forma global: La presión inducida por el fluido que dobla en un rincón de la botella, se siente instantáneamente por todas partes, y con toda su fuerza.
A diferencia con gases compresibles, donde perturbaciones como el sonido viajan a velocidad finita, o el calor, que se propaga instantáneamente, pero en forma muy atenuada, en el flujo incompresible, el cambio de presión en un extremo de un tubo, se siente de lleno en el otro.
Es esta propagación instantánea y global que creo es la principal razón por la que la velocidad puede llegar a ser infinita.
La viscosidad: El efecto “bueno”
VISCOSIDAD
El último término en Navier-Stokes, establece que el fluido también es acelerado por el arrastre que el fluido circundante ejerce en una partícula dada, debido a la diferencia de velocidades, por ejemplo supongamos que en un tiempo dado, la partícula X 0 tiene velocidad cero; pero las partículas circundantes se mueven ligeramente hacia la derecha.
Entonces el hecho que el fluido es viscoso, eso es, que hay una “fricción” entre partículas adyacentes, tiende a acelerar el origen hacia la derecha. Para dar a esta idea un significado preciso, nosotros podemos tomar bolas más y más pequeñas alrededor del punto, y considerar como una medida del arrastre ejercido en la partícula por el fluido circundante: “La velocidad media en la bola diminuta menos la velocidad en el punto”.
Como lo sugiere la imagen, esto es un efecto cuadrático, y dividido por la cantidad correcta, el cuadrado del radio, nos da una expresión infinitesimal. Mas precisamente, si hacemos el limite de …
Notemos que la elección de este promedio para medir el arrastre de en la partícula es algo arbitrario, especialmente su linealidad con respecto a la velocidad. Dependiendo de las propiedades del líquido, la dependencia puede cambiar a altas velocidades y llegar a ser no lineal.
Notemos también que esta es en esencia una expresión de Euleriana. No obstante, la viscosidad es un “efecto realmente bueno”. Tiende a aplastar el flujo.
Si una partícula tiende a escapar a una velocidad más alta que las circundantes, la viscosidad la trata de “frenar”.
Es la viscosidad la que da esperanza que las soluciones a la ecuación mantendrían la velocidad “siempre” finita. Así completamos la descripción de los términos que comprenden la ecuación de Navier-Stokes:
Para todo tiempo futuro.
CLAY OPCION 1: Encuentre una solución regular para todo tiempo
Esto indicaría que el problema esta bien puesto
CLAY OPCION 2: Encuentre una solución con velocidad infinita en algún punto en tiempo finito
Principalmente, lo que es sabido es que algún tipo de soluciones “las soluciones débiles” existen para todo tiempo. Para Leray la ecuación es satisfecha en un sentido promedio, pero no necesariamente punto por el punto y si los datos iniciales son regulares, las soluciones “débiles” son “verdaderas soluciones” en un tiempo inicial, en un tiempo intermedio, no se sabe, y luego vuelven a ser “verdaderas soluciones”.
En este tiempo intermedio es cuando se pueden formar singularidades, es sabido (C-Kohn-Nirenberg) que el conjunto de los puntos donde la solución llega a ser singular no puede llenar una curva en el espacio tiempo (tiene cero medida unidimensional de Hausdorff).
Mi creencia personal es que si soluciones regulares pueden ser construidas para todo tiempo, la demostración debe provenir de una comprensión más profunda de la ecuación en coordenadas
Lagrangianas, y que los métodos empleados hasta ahora, han sido explotado completamente.
Por otro lado, para buscar una singularidad uno debe centrarse en escalas más rápidas que refuerzan el efecto no local e instantáneo de la presión.
Una tal escala esta sugerido por la ecuación de Euler, eso es, sin el termino de la viscosidad, _ ~ v .
Como lo indicó Charlie Fefferman en su presentación del premio Clay, el desarrollo de singularidades para la ecuación de Euler es una cuestión preliminar importante.
De esta manera uno puede esperar construir un flujo singular para Navier-Stokes construyendo primero un flujo de Euler autosemejante, y luego perturbar la solución hacia el pasado para obtener una solución de Navier-Stokes.
El Dr. Luis Caffarelli es Professor of Mathematics and the Institute for Computational Engineering and Sciences